Calculo Diferencial: noviembre 2015

domingo, 29 de noviembre de 2015

Unidad 4: Derivadas Concepto de incremento y razón de cambio

Concepto de razon de cambio

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. En general, en una relación funcional

y=f(x), la razón de cambio de la variable dependiente

y respecto a la independiente

x se calcula mediante un proceso de límite --de la razón

[f(x+t)−f(x)]/t, denominada cociente diferencial.

Concepto de incremento:[El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x₀ a otro x = x₁ de su campo de variación. Así, pues,

Derivada de una funcion

El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Referencias bibliograficas
http://www.hiru.com/matematicas/derivada-de-una-funcion
https://sites.google.com/site/455laderivada/ejemplo-2

Unidad 3: Tipos de discontinuidad

Tipos de discontinuidad

Discontinuidad evitable

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto:

$asodiaosdio1$

o no existe:

$qwoiuwqoiqwiq$

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función, en ese punto, el valor del límite:

$0p021ñpñsas$

Discontinuidad esencial o no evitable

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

Discontinuidad de primera especie: si los límites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge.

Discontinuidad de segunda especie: si la función, al menos en uno de los lados del punto, no existe o no tiene límite.

Discontinuidad de primera especie

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:

\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\ \nexists f(a) \end{array} \right .

Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.

Así podemos ver que son discontinuidades de salto finito:

\left \{ \begin{array}{l} \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\ \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\ f(a) = c \end{array} \right .

Referencias bibliograficas

www.vitutor.com/fun/3/b_5.html

www.vadenumeros.es › 1º Bachillerato

Unidad 3: Funciones Continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo

Funciones Continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.

Dibujo de una función continua y otra discontinua.

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.

Definición : Discontinuidades.

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo.

El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el valor se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Definición : Continuidad en un intervalo.

Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en cada uno de sus puntos.

Ejemplo 1: Demostrar que f(x) = 5 es continua en 7.

Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan.

Primera, f (7) = 5, de modo que f está definida en x = 7.

Segunda, por tanto, f tiene limite cuando X —> 7

Tercerapor tanto f es continua en 7 (Véase la fig. 9.25)

Ejemplo 2: Demostrar que g(x) = x2 — 3 es continua en — 4.

Solución: la función g está definida en x = — 4; g (—4) = 13. También:

Por tanto, g es continua en — 4.

Referencias bibliograficas

https://darkcity2111.wordpress.com/3-8-funciones-continuas-y-descontinuas-en-un-punto-y-en-un-intervalo/

http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-continuas-discontinuas/

Unidad 3: Asintotas

Asintotas

Una de las formas de estudiar el comportamiento de una función cuando sus valores tienden a infinito o en aquellos puntos en los que la función no está definida (puntos aislado) es comparar la función con una recta, así diremos que una recta es una asíntota de una función cuando la gráfica de la función y la recta permanecen muy próximas.

Dependiendo de como sea la recta tenemos tres tipos de asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas.

Verticales:
Las asíntotas verticales son rectas verticales a las cuales la función se va acercando indefinidamente sin llegar nunca a cortarlas.

Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).
Ejemplos

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

es la asíntota horizontal.

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Asintota oblicua:

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

Nota-1

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

Nota-2

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Referencias bibliograficas
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html
http://www.ditutor.com/funciones_1/asintotas_verticales.html

Unidad 3: Limites infinitos y al infinito

Limites infinitos y limites al infinito

LIMITES INFINITOS

Decimos que lim f(x)= $\infty$ si para los valores de x proximos a a, x→ a los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)= $\infty$ si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente, lim f(x) = – $\infty$
x→a

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – $\infty$
x→a

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – $\infty$
x→ 0-
→ lim 1/|x| = $\infty$ x→0

lim 1/|x| = $\infty$
x→a’

El símbolo $\infty$ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe $x\rightarrow +\infty$ (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como $x\rightarrow -\infty$ (que se lee: tiende a menos infinito).

¿Cuál es el límite de esta función?

y = 2x

Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
...	...

Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:

Referencias bibliograficas
http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-infinito.html
https://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/limites-infinitos-limites-al-infinito/

Unidad 3: Limites laterales

Limites laterales

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a .

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función

, en la que existe una discontinuidad cuando

notemos que cuando

tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando

tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.

Escribimos

para indicar que

tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a". Similarmente

indica que

tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos

. Estos límites reciben
el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.
Ejemplo:
Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función

cuya representación gráfica es la siguiente:

Se tiene que:

Referncias bibliograficas:
http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/lim-laterales.html
https://darkcity2111.wordpress.com/3-5-limites-laterales/