martes, 1 de diciembre de 2015

Unidad 4: Derivadas de orden superior y regla de L Hopital

Derivadas de orden superior

Si $f$ es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como:
$f'=\{(x,y)/\;y=D_{x}f(x)\}$ para $x$ en el dominio $M$ de $f$.
Si para algunos valores $x \in M$ existe el $\displaystyle{\lim_{h \rightarrow{0}}{\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}}}$ se dice que existe la segunda derivada de la función $f$ que se denota por $f''(x)$ o $D_{x}^{2}f(x)$, que equivale a $D_{x}[D_{x}f(x)]$. O sea, la segunda derivada de la función $f$ se obtiene derivando la primera derivada de la función.
Ejemplos:
  1. Si $f(x)=5x^{3}+6x^{2}-5x+1$ entonces:
    $f'(x)=15x^{2}+12x-5$ y
    $f''(x)=30x+12$
  2. Si $\displaystyle{g(x)=\frac{x^{2}+3x}{x-1}}$ entonces:
    $\displaystyle{g'(x)=\frac{(x-1)(2x+3)-(x^{2}+3x)}{(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$ y derivando nuevamente
    $\displaystyle{g''(x)=\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^2-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)^{2}(2x-2)-(x^{2}-2x-3)2(x-1)}{(x-1)^{4}}}$
    $=\displaystyle{\frac{(x-1)[(x-1)(2x-2)-(x^{2}-2x-3)]}{(x-1)^{4}}}$
    Por tanto $\displaystyle{g''(x)=\frac{8}{(x-1)^{3}}}$ 



Regla de L'Hôpital para límites. 
  La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:
  Un límite indeterminado de la forma:
lho0.gif (301 bytes)
valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:
lho1.gif (571 bytes)
De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo.
  EJEMPLO 1:  Hallar el límite:
lho2.gif (232 bytes)
este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:
lho3.gif (674 bytes)
límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:
lho4.gif (256 bytes)


Referencia bibliografica:
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/lim_lhopital.htm
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.html
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