Calculo Diferencial

Unidad 3: Limites infinitos y al infinito

Limites infinitos y limites al infinito

LIMITES INFINITOS

Decimos que lim f(x)= $\infty$ si para los valores de x proximos a a, x→ a los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)= $\infty$ si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente, lim f(x) = – $\infty$
x→a

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – $\infty$
x→a

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – $\infty$
x→ 0-
→ lim 1/|x| = $\infty$ x→0

lim 1/|x| = $\infty$
x→a’

El símbolo $\infty$ se lee infinito, es de carácter posicional, no representa ningún número real.
Si una variable independiente está creciendo indefinidamente a través de valores positivos, se escribe $x\rightarrow +\infty$ (que se lee: tiende a más infinito), y si decrece a través de valores negativos, se denota como $x\rightarrow -\infty$ (que se lee: tiende a menos infinito).

¿Cuál es el límite de esta función?

y = 2x

Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":

x	y=2x
1	2
2	4
4	8
10	20
100	200
...	...

Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:

Referencias bibliograficas
http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-infinito.html
https://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/limites-infinitos-limites-al-infinito/

Unidad 3: Limites laterales

Limites laterales

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a .

Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones.
Consideremos la siguiente representación gráfica de una función

, en la que existe una discontinuidad cuando

notemos que cuando

tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando

tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.

Escribimos

para indicar que

tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a". Similarmente

indica que

tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos

. Estos límites reciben
el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.
Ejemplo:
Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función

cuya representación gráfica es la siguiente:

Se tiene que:

Referncias bibliograficas:
http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/lim-laterales.html
https://darkcity2111.wordpress.com/3-5-limites-laterales/

Unidad 3: Propiedades de los limites

Propiedades de los limites

En esta secuencia se pretende introducir las propiedades de límites de una función, cuando la variable independiente x tiende a infinito o a algún valor numérico implementando un problema que caracterice tal situación y a su vez aplicar las propiedades por medio de ejercicios prácticos de cálculo.

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

=77

=-6

=12

Referencias bibliograficas:
http://ed21.webcindario.com/LimitesYContinuidad/teoremas_de_limites.htm

http://acreditacion.itmazatlan.edu.mx/3-2---propiedades-de-los-limites

Unidad 3: Calculo de limites

Calculo de limites

Los límites son la herramienta principal sobre la que construimos el cálculo.
Muchas veces, una función puede no estar definida en un punto, pero podemos pensar a qué valor se aproxima la función mientras se acerca más y más a ese punto (esto es el límite).
Otras ocasiones, la función está definida en un punto, pero puede aproximarse a un límite diferente.

Hay muchas, muchas veces donde el valor de la función es el mismo que el del límite en el punto. De cualquier manera, esto es una poderosa herramienta cuando comenzamos a pensar en la pendiente de una recta tangente a una curva.

  
1) lim  ------- = --
   x->2 3x - 4    2

        x² - 1    3
2) lim -------- = -- = +inf
   x->2  x - 2    0


Factores

Podemos probar factorizando.
Ejemplo: 
   
Factorizando (x2-1) en (x-1)(x+1) tenemos:
 
  
   
Ahora sustituimos x=1 para calcular el límite:
  


 
3. Conjugar

Si es una fracción, multiplicar arriba y abajo por un conjugado puede ayudar.

El conjugado es cuando cambias el signo entre dos términos, así: 


Aquí tienes un ejemplo en el que te ayuda a calcular un límite:
 Evaluando en x=4 sale 0/0, ¡no es una respuesta válida!


Así que vamos a manipular un poco:
Multiplica arriba y abajo por el conjugado de lo de arriba:   
     
Simplifica arriba usando :   
     
Simplifica arriba un poco más:   
     
Elimina (4-x) arriba y abajo:   


Así que nos queda:

Referencias bibliográficas:

http://matematica.50webs.com/calculo-de-limites.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-evaluacion.html

\qquad \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\sin(x)\ln(x)

Unidad3: Limite de una funcion de variable real

Limite de una funcion de variable real

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
El conjunto inicial o dominio de la función.
El conjunto final o imagen de la función.
La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real.

Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”.

Referencia Bibliografica
https://darkcity2111.wordpress.com/3-2-limite-de-una-funcion-de-variable-real/

https://www.uclm.es/profesorado/raulmmartin/Calculo/.../Tema_4.pdf

Unidad 3: Limite de una sucesion

El límite de una sucesión es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.

a1= 1

a2= 0.5

a1000= 0.001

a1000 000 = 0.000001

Una sucesión tiene límite, si sus términos van tomando valores cada vez más próximos a una cierta cantidad que llamamos límite de la sucesión.

Una característica de esta cantidad es, que los términos de la sucesión nunca llegan a alcanzarla, a pesar de que pueden acercarse a ella tanto como queramos.

Expresado de una forma más precisa decimos que una sucesión an tiene límite j si la distancia de an a j se hace más pequeña que un valor que nosotros escojamos: e épsilon (por pequeño que sea éste) desde un término de la sucesión en adelante: lim an = j

Gráficamente podemos representar en dos ejes los términos de la sucesión como puntos, de forma que el eje vertical nos da su valor y en el horizontal aparece su posición dentro de la sucesión, dada por el valor de n.
Propiedades de los limites:

Referencias bibliograficas:

Vitutor.com
Youtube-canal lasmatematicas.es